Proposisi Majemuk

Proposisi Majemuk adalah proposisi yang dibentuk dengan menggabungkan satu atau lebih proposisi atomik (kalimat tunggal) menggunakan perangkai logika (logical connectives).

Ekspresi Logika

Ekspresi Logika adalah representasi formal dari sebuah pernyataan atau argumen menggunakan variabel proposisional dan perangkai logika.

Setiap ekspresi logika dapat bersifat atomik atau majemuk, tergantung pada variabel dan perangkai yang membentuknya.

Menghindari Ambiguitas

Proposisi majemuk yang kompleks dapat menyebabkan ambiguitas (kesalahan penafsiran) karena urutan pengerjaan perangkai yang tidak jelas.

Untuk menghindarinya, kita menggunakan tanda kurung untuk menentukan bagian mana dari proposisi yang harus dikerjakan terlebih dahulu.

Proposisi-proposisi dengan perangkai yang berada di dalam tanda kurung disebut fpe (Fully Parenthesized Expression).

Contoh: Ambiguitas dan Tanda Kurung

Diberikan pernyataan:

Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian dan mendapat hadiah istimewa.

Ekspresi yang lebih tepat adalah $A \to (B \land C)$ , karena $B$ dan $C$ keduanya merupakan akibat dari $A$ .

Menganalisis Proposisi Majemuk (Parsing)

Untuk proposisi majemuk yang sangat panjang, kita dapat menggunakan teknik Parsing untuk memilah-milah kalimat menjadi proposisi atomik dan menentukan struktur logisnya.

Contoh: Analisis Kalimat Kompleks

Pernyataan:

Jika Joko lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja, tetapi jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia.

Ekspresi Akhir:

(A \to (B \land C)) \land ((\neg A) \to D)

Klasifikasi Proposisi Majemuk

Proposisi majemuk dapat diklasifikasikan menjadi tiga jenis berdasarkan hasil nilai kebenaran pada kolom terakhir di tabel kebenaran: Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi.

1. Tautologi

Tautologi adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai Benar (T), terlepas dari nilai kebenaran proposisi-proposisi atomik penyusunnya.

Jika kolom terakhir tabel kebenaran untuk semua pasangan nilai variabel bernilai Benar ( $T$ ), maka itu adalah Tautologi.

Contoh: $p \lor \neg p$

$p$	$\neg p$	$p \lor \neg p$
F	T	T
T	F	T
Hasil		Tautologi

2. Kontradiksi

Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai Salah (F), terlepas dari nilai kebenaran proposisi penyusunnya.

Ini adalah kebalikan dari tautologi.
Jika pada tabel kebenaran, semua pasangan nilai kebenaran menghasilkan nilai $F$ , maka itu adalah Kontradiksi.

Contoh: $p \land \neg p$

$p$	$\neg p$	$p \land \neg p$
F	T	F
T	F	F
Hasil		Kontradiksi

3. Kontingensi

Kontingensi adalah proposisi majemuk yang bukan Tautologi dan bukan Kontradiksi.

Ekspresi logika ini akan menghasilkan nilai Benar (T) dan nilai Salah (F) dalam kolom terakhir tabel kebenarannya.

Contoh: $((A \land B) \to C) \to A$

$A$	$B$	$C$	$... \to A$
F	F	F	F
F	F	T	F
T	F	F	T
T	F	T	T
…			…
Hasil			Kontingensi

💡

Suatu proposisi tetap dikategorikan sebagai Kontingensi selama ada minimal satu nilai $F$ dan minimal satu nilai $T$ pada hasil akhirnya, meskipun hasilnya tidak seimbang.