📉 Turunan (Derivatif)

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana nilai suatu fungsi berubah seiring perubahan nilai inputnya. Secara geometris, turunan merepresentasikan kemiringan (gradien) garis singgung pada suatu titik di kurva.

1. Konsep Dasar

1.1 Definisi Formal (Menggunakan Limit)

Turunan didefinisikan menggunakan limit. Notasi $Δ x$ melambangkan perubahan kecil pada variabel $x$ .

f^{'} (x) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}

1.2 Notasi Turunan

Notasi	Dibaca	Keterangan
$f^{'} (x)$	f aksen x	Notasi Lagrange
$\frac{d y}{d x}$	dy per dx	Notasi Leibniz
$\frac{df}{d x}$	df per dx	Notasi Leibniz
$D f (x)$	D dari f(x)	Notasi Euler

1.3 Interpretasi Geometris

Turunan $f^{'} (a)$ menyatakan kemiringan garis singgung kurva $y = f (x)$ di titik $x = a$ .

2. Rumus-Rumus Dasar

2.1 Turunan Konstanta

Jika $f (x) = k$ (konstanta), maka turunannya selalu nol.

f^{'} (x) = 0

Contoh: $f (x) = 5 \Rightarrow f^{'} (x) = 0$

2.2 Aturan Pangkat (Power Rule)

Jika $f (x) = a x^{n}$ , maka:

f^{'} (x) = n \cdot a \cdot x^{n - 1}

💡

Cara Cepat: “Pangkat turun ke depan dikali koefisien, lalu pangkatnya dikurangi satu.”

Contoh:

$f (x) = x^{3} \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2}$
$f (x) = 5 x^{4} \Rightarrow f^{'} (x) = 20 x^{3}$
$f (x) = x \Rightarrow f^{'} (x) = 1$

2.3 Penjumlahan dan Pengurangan

Turunan dari penjumlahan/pengurangan fungsi adalah jumlah/selisih dari turunannya.

(f \pm g)^{'} = f^{'} (x) \pm g^{'} (x)

3. Contoh Soal Dasar

Soal 1: Polinomial

Soal: Tentukan turunan dari $y = 2 x^{4} - 6 x + 15$ .

Penyelesaian:

Turunkan setiap suku secara terpisah:

Suku	Proses	Hasil
$2 x^{4}$	$4 \cdot 2 \cdot x^{4 - 1}$	$8 x^{3}$
$- 6 x$	$1 \cdot (- 6) \cdot x^{1 - 1}$	$- 6$
$15$	Konstanta	$0$

Hasil akhir: $y^{'} = 8 x^{3} - 6$

Soal 2: Akar dan Pecahan

Soal: Tentukan turunan dari $f (x) = x + \frac{1}{x ^{2}}$ .

Penyelesaian:

Langkah 1: Ubah ke bentuk pangkat

f (x) = x^{1/2} + x^{- 2}

Langkah 2: Turunkan

f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} + (- 2) x^{- 2 - 1} = \frac{1}{2} x^{- 1/2} - 2 x^{- 3} = \frac{1}{2 x} - \frac{2}{x ^{3}}

4. Aturan Lanjut

4.1 Aturan Rantai (Chain Rule)

Digunakan untuk fungsi komposisi (fungsi di dalam fungsi), seperti $y = (u (x))^{n}$ .

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Atau dalam bentuk yang lebih sederhana:

Jika y = u^{n} maka y^{'} = n \cdot u^{n - 1} \cdot u^{'}

🔗

Konsep: Turunkan fungsi luarnya (anggap fungsi dalam sebagai variabel biasa), lalu kalikan dengan turunan fungsi dalamnya.

Contoh: Tentukan turunan $y = (3 x^{2} - 5)^{4}$ .

Penyelesaian:

Fungsi dalam: $u = 3 x^{2} - 5 \Rightarrow u^{'} = 6 x$
Fungsi luar: $(u)^{4}$

y^{'} = 4 (3 x^{2} - 5)^{4 - 1} \cdot (6 x) = 4 \cdot 6 x \cdot (3 x^{2} - 5)^{3} = 24 x (3 x^{2} - 5)^{3}

4.2 Aturan Perkalian (Product Rule)

Digunakan jika $f (x)$ adalah hasil kali dua fungsi.

Jika f (x) = u \cdot v maka f^{'} (x) = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}

💡

Hafalan: “Turunan depan kali belakang, ditambah depan kali turunan belakang.”

Contoh: Tentukan turunan $y = (2 x + 3) (x^{2})$ .

Penyelesaian:

Misal $u = 2 x + 3 \Rightarrow u^{'} = 2$
Misal $v = x^{2} \Rightarrow v^{'} = 2 x$

y^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'} = (2) (x^{2}) + (2 x + 3) (2 x) = 2 x^{2} + 4 x^{2} + 6 x = 6 x^{2} + 6 x

4.3 Aturan Pembagian (Quotient Rule)

Digunakan jika $f (x)$ adalah pembagian dua fungsi.

Jika f (x) = \frac{u}{v} maka f^{'} (x) = \frac{u ^{'} \cdot v - u \cdot v ^{'}}{v ^{2}}

⚠️

**Hati-hati! ** Tandanya adalah kurang (-), dan urutannya tidak boleh terbalik.

Hafalan: “Turunan atas kali bawah, dikurang atas kali turunan bawah, dibagi bawah kuadrat.”

Contoh: Tentukan turunan $y = \frac{x ^{2}}{x + 1}$ .

Penyelesaian:

Atas: $u = x^{2} \Rightarrow u^{'} = 2 x$
Bawah: $v = x + 1 \Rightarrow v^{'} = 1$

y^{'} = \frac{u ^{'} \cdot v - u \cdot v ^{'}}{v ^{2}} = \frac{( 2 x ) ( x + 1 ) - ( x ^{2} ) ( 1 )}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} + 2 x - x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}}

5. Ringkasan Rumus

Aturan	Rumus
Konstanta	$\frac{d}{d x} (k) = 0$
Pangkat	$\frac{d}{d x} (x^{n}) = n x^{n - 1}$
Perkalian	$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
Pembagian	$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
Rantai	$\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

💡 Tips Mengerjakan Soal

Ubah bentuk terlebih dahulu! Akar dan pecahan sebaiknya diubah ke bentuk pangkat sebelum diturunkan.

Identifikasi aturan yang tepat! Perhatikan apakah fungsi berupa perkalian, pembagian, atau komposisi.

Hati-hati dengan tanda! Terutama pada aturan pembagian yang menggunakan pengurangan.