📜 Hukum-Hukum Logika

Hukum-hukum logika atau Hukum Aljabar Proposisi adalah aturan ekuivalensi yang digunakan untuk memanipulasi dan menyederhanakan ekspresi logika. Berikut adalah daftar hukum beserta penjelasannya:

1. Hukum Identitas

Hukum ini menyatakan bahwa suatu proposisi tidak akan berubah nilai kebenarannya jika dioperasikan dengan elemen identitasnya (Benar untuk $\wedge$ , Salah untuk $\vee$ ).

p \land T p \lor F \equiv p \equiv p

Penjelasan:

Sesuatu yang DAN “Benar” hasilnya tergantung sesuatu itu sendiri.
Sesuatu yang ATAU “Salah” hasilnya tergantung sesuatu itu sendiri.

2. Hukum Dominasi

Suatu proposisi akan “didominasi” atau tertutup oleh nilai kebenaran mutlak tertentu.

p \lor T p \land F \equiv T \equiv F

Penjelasan:

Apapun jika di-ATAU-kan dengan “Benar”, hasilnya pasti Benar.
Apapun jika di-DAN-kan dengan “Salah”, hasilnya pasti Salah.

3. Hukum Idempoten

Operasi logika terhadap variabel yang sama akan menghasilkan variabel itu sendiri.

p \lor p p \land p \equiv p \equiv p

Contoh: “Saya lapar atau saya lapar” $\equiv$ “Saya lapar”.

4. Hukum Negasi Ganda

Negasi dari suatu negasi adalah bentuk aslinya.

\neg (\neg p) \equiv p

Contoh: “Tidak benar bahwa saya tidak makan” $\equiv$ “Saya makan”.

5. Hukum Komutatif

Urutan proposisi dalam operasi konjungsi atau disjungsi tidak mempengaruhi hasil (bisa ditukar tempat).

p \lor q p \land q \equiv q \lor p \equiv q \land p

Contoh: “Apel dan Jeruk” sama saja dengan “Jeruk dan Apel”.

6. Hukum Asosiatif

Pengelompokan (tanda kurung) pada operasi yang sama tidak mempengaruhi hasil.

(p \lor q) \lor r (p \land q) \land r \equiv p \lor (q \lor r) \equiv p \land (q \land r)

7. Hukum Distributif

Hukum ini digunakan untuk menyebarkan satu operator ke dalam kurung operator lain (mirip perkalian terhadap penjumlahan: $a(b+c) = ab + ac$ ).

p \lor (q \land r) p \land (q \lor r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)

Contoh: “Saya makan DAN (Roti ATAU Nasi)” $\equiv$ “(Saya makan Roti) ATAU (Saya makan Nasi)“.

8. Hukum De Morgan

Hukum ini sangat penting untuk menangani negasi pada tanda kurung. Ingat prinsip: Negasi masuk, operator berbalik.

\neg (p \land q) \neg (p \lor q) \equiv \neg p \lor \neg q \equiv \neg p \land \neg q

Contoh: “Tidak benar bahwa (saya Kaya DAN Tampan)” $\equiv$ “Saya Tidak Kaya ATAU saya Tidak Tampan”.

9. Hukum Trivial

Hubungan antara proposisi dengan negasinya sendiri.

p \lor \neg p p \land \neg p \equiv T (Tautologi) \equiv F (Kontradiksi)

Penjelasan:

“Hari ini hujan atau tidak hujan” $\to$ Selalu Benar (T).
“Hari ini hujan dan tidak hujan” $\to$ Mustahil/Salah (F).

10. Hukum Absorpsi

Hukum penyerapan, di mana variabel di luar tanda kurung “menyerap” ekspresi di dalamnya sehingga menjadi lebih sederhana.

Bentuk Standar: Jika variabel di luar sama dengan variabel di dalam.

p \lor (p \land q) p \land (p \lor q) \equiv p \equiv p

Bentuk dengan Negasi (Redundansi): Jika variabel di dalam adalah negasi dari yang di luar, maka negasinya hilang.

p \lor (\neg p \land q) p \land (\neg p \lor q) \equiv p \lor q \equiv p \land q

11. Hukum Lain (Implikasi & Bikondisional)

Ekuivalensi penting untuk mengubah bentuk implikasi ( $\to$ ) dan bi-implikasi ( $\leftrightarrow$ ) menjadi operasi dasar ( $\wedge, \vee, \neg$ ).

Penyederhanaan Distributif Khusus

Jika variabel sama dikali dengan (variabel lain atau negasinya), hasilnya adalah variabel itu sendiri.

(p \land q) \lor (p \land \neg q) \equiv p

Ekuivalensi Implikasi

Mengubah “Jika… maka…” menjadi “Tidak… atau…”.

p \to q p \to q \equiv \neg p \lor q \equiv \neg (p \land \neg q)

Ekuivalensi Bikondisional

Bikondisional adalah gabungan dua implikasi.

(p \leftrightarrow q) (p \leftrightarrow q) \equiv (p \to q) \land (q \to p) \equiv (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)

💡

Tips: Hukum-hukum di atas (terutama Implikasi, De Morgan, dan Absorpsi) adalah senjata utama dalam mengerjakan soal Penyederhanaan Logika.