📏 Modulus (Nilai Mutlak)

Modulus adalah metode untuk menghitung “jarak” suatu bilangan dari titik pusat (0). Konsep ini sangat penting dalam memahami sifat geometris bilangan kompleks.

1. Pengertian Modulus

1.1 Definisi Geometris

Jenis Bilangan	Interpretasi Modulus
Bilangan Real	Jarak linier dari 0 (mengubah negatif menjadi positif)
Bilangan Kompleks	Panjang hipotenusa dari segitiga siku-siku pada bidang kompleks

Pada Bilangan Kompleks $z = x + y i$ , modulus merepresentasikan jarak dari titik asal (0,0) ke titik (x, y) pada bidang kompleks.

1.2 Visualisasi pada Bidang Kompleks


Imajiner (y)
    ↑
    |       • z = x + yi
    |      /|
    |     / |
    |    /  | y (bagian imajiner)
    |   /   |
    |  /    |
    | / |z| |
    |/______|________→ Real (x)
   O    x (bagian real)

Modulus $∣ z ∣$ adalah panjang garis dari O ke titik z.

2. Rumus Modulus

2.1 Rumus Umum

Karena merepresentasikan jarak, kita menggunakan Teorema Pythagoras:

∣ z ∣ = R e^{2} + I m^{2} = x^{2} + y^{2}

Dimana:

$R e = x$ = bagian real
$I m = y$ = bagian imajiner

2.2 Sifat-Sifat Modulus

Sifat	Rumus
Non-negatif	$∣ z ∣ \geq 0$
Perkalian	$∣ z_{1} \cdot z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣$
Pembagian	$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}$
Konjugat	$∣ z ∣ = ∣ \overset{z}{ˉ} ∣$
Segitiga	$∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$

3. Contoh Soal dan Pembahasan

Kasus 1: Bilangan Kompleks Standar

Soal: Tentukan modulus dari $z = 3 - 4 i$ !

Penyelesaian:

Langkah 1: Identifikasi bagian real dan imajiner

$R e = 3$
$I m = - 4$

Langkah 2: Gunakan rumus modulus

∣ z ∣ = R e^{2} + I m^{2} = 3^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5

💡

Catatan: Triple Pythagoras (3, 4, 5) sering muncul dalam soal modulus!

Kasus 2: Modulus dari Hasil Pembagian

Soal: Hitunglah modulus dari:

\frac{3 + 7 i}{2 - 10 i}

Penyelesaian:

Strategi: Ada dua cara untuk menyelesaikan soal ini:

Sederhanakan pembagian dulu, lalu hitung modulus
Gunakan sifat modulus: $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}$

Cara 1: Sederhanakan Dulu

Langkah 1: Kalikan dengan konjugat penyebut

\frac{3 + 7 i}{2 - 10 i} \cdot \frac{2 + 10 i}{2 + 10 i} = \frac{6 + 30 i + 14 i + 70 i ^{2}}{2 ^{2} + 1 0 ^{2}} = \frac{6 + 44 i - 70}{4 + 100} = \frac{- 64 + 44 i}{104}

Langkah 2: Pecahkan menjadi bagian Real dan Imajiner

$R e = \frac{- 64}{104} = - \frac{8}{13}$
$I m = \frac{44}{104} = \frac{11}{26}$

Langkah 3: Masukkan ke rumus modulus

∣ z ∣ = (- \frac{8}{13})^{2} + (\frac{11}{26})^{2} = \frac{64}{169} + \frac{121}{676} = \frac{256}{676} + \frac{121}{676} (Samakan penyebut) = \frac{377}{676} = \frac{377}{26}

Kasus 3: Pembuktian Sifat Modulus Perkalian

Soal: Buktikan bahwa $∣ z_{1} \cdot z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣$ untuk:

$z_{1} = 2 - 8 i$
$z_{2} = 8 - 2 i$

Penyelesaian:

Ruas Kiri: $∣ z_{1} \cdot z_{2} ∣$

Langkah 1: Kalikan kedua bilangan kompleks

z_{1} \cdot z_{2} = (2 - 8 i) (8 - 2 i) = 16 - 4 i - 64 i + 16 i^{2} = 16 - 68 i + 16 (- 1) = 16 - 16 - 68 i = 0 - 68 i = - 68 i

Langkah 2: Hitung modulusnya

∣ z_{1} \cdot z_{2} ∣ = 0^{2} + (- 68)^{2} = 4624 = 68

Ruas Kanan: $∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣$

Langkah 1: Hitung modulus masing-masing

∣ z_{1} ∣ ∣ z_{2} ∣ = 2^{2} + (- 8)^{2} = 4 + 64 = 68 = 8^{2} + (- 2)^{2} = 64 + 4 = 68

Langkah 2: Kalikan kedua hasil

∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣ = 68 \cdot 68 = 68 = 68

✅

**Terbukti! ** Hasil ruas kiri sama dengan ruas kanan ( $68 = 68$ ).

4. Ringkasan

Rumus Penting

Rumus	Keterangan
$∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$	Modulus bilangan kompleks $z = x + y i$
$∣ z_{1} \cdot z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣$	Sifat perkalian
$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}$	Sifat pembagian

💡 Tips Mengerjakan Soal

Gunakan sifat modulus! Untuk soal perkalian/pembagian, kadang lebih mudah menghitung modulus masing-masing bilangan terlebih dahulu.

Perhatikan Triple Pythagoras! Angka-angka seperti (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) sering muncul dalam soal modulus.

Samakan penyebut dengan hati-hati! Saat menjumlahkan pecahan dalam perhitungan modulus, pastikan penyebut sudah sama.